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第27章 染色法的胜利

    二零零一年的十月,像是一块受潮了很久的饼干。


    咬在嘴里不脆,咽下去也不软,就那么温吞吞、黏糊糊地噎在喉咙口。


    市一中的行政楼顶楼,空气似乎比楼下要稀薄一些。


    这里是陈拙的新领地。


    老赵给的那把黄铜钥匙,不仅仅打开了一扇铁门,更是为陈拙在这个嘈杂的初中校园里,圈出了一块绝对安静的真空地带。


    下午四点。


    天色有些阴沉,云层压得很低,窗外的法国梧桐树顶显得灰扑扑的。


    档案室里没有开灯。


    陈拙喜欢这种自然光逐渐消退、昏黄暮色一点点渗透进来的感觉。


    这让他觉得自己像是一个蛰伏在洞穴里的动物,安全,且专注。


    他坐在那张掉了漆的红木桌前。


    桌面上铺开了一张a3大小的白纸,旁边散落着几支已经写干了墨水的晨光笔芯。


    空气中弥漫着陈旧纸张特有的酸味,那是几十年积攒下来的知识发酵的味道。


    陈拙正在做题。


    这是一道立体几何题,一张全国高中数学联赛的复赛卷。


    题目描述很简单:


    【一个正四面体abcd,棱长为a。点p在棱ab上运动,点q在棱cd上运动。求pq与底面bcd所成角的正切值的取值范围。】


    图形在脑子里一闪而过。


    正四面体,最完美的柏拉图多面体。


    如果是普通的初中生,或者刚接触立体几何的高中生,这时候大概会开始在大脑里旋转这个椎体,试图寻找那个该死的二面角,或者在那儿比划着怎么做垂线,怎么找投影。


    陈拙没有比划。


    他甚至没有多看那个图形一眼。


    他的手很稳,抓起一支黑色的签字笔,在白纸的左上角,熟练地画了一个十字。


    建系。


    这是他的本能。


    在他眼里,空间不是“空”的,空间是被这三条互相垂直的轴线切割、固定的。


    没有什么几何问题是坐标系解决不了的。


    如果有,那就再引入一个参数方程。


    “设底面中心为原点o(0,0,0)……”


    陈拙心里默念着,笔尖飞快地落下。


    这一招,叫空间解析几何。


    这是大学数学的入门工具,但在中学竞赛里,它就是一把重型机枪。


    不管题目里的点怎么动,不管那个四面体怎么歪,只要把它钉死在坐标轴上,剩下的就是纯粹的计算。


    设p点坐标(x1,y1,z1),引入参数t。


    设q点坐标(x2,y2,z2),引入参数k。


    pq向量的坐标表示……


    法向量……


    数量积……


    笔尖在纸上划过,发出沙沙的声响。


    这声音很密,很急,像是一场急促的雨。


    陈拙写得很顺。


    他的大脑像是一台精密的处理器,快速地处理着那些带着根号、分母和平方的复杂式子。


    √2/3a,√6/3a……


    这些数字在他的笔下不断地拆解、组合、相乘、相消。


    十分钟过去了。


    白纸被写满了一半。


    墨水的味道有些刺鼻。


    陈拙感觉自己的手腕稍微有点酸。


    这种方法虽然“无敌”,但有一个致命的缺点:


    计算量大得惊人。


    尤其是当涉及到两个动点的时候,最后推导出来的那个函数解析式,长得像一条蜿蜒的毒蛇。


    分母里套着根号,根号里套着平方,平方里还带着参数。


    “啧。”


    陈拙皱了皱眉,停下笔,甩了甩手腕。


    他看着纸上那一大坨黑乎乎的算式。


    并没有错。


    逻辑严密,推导无误。


    只要再解一个关于t和k的二元函数极值,答案就出来了。


    也就是再算半页纸的事儿。


    但他突然觉得有点烦。


    这种烦躁不是因为题目难,恰恰相反,是因为题目不难,但麻烦。


    就像是让你用勺子把一游泳池的水舀干。


    你知道怎么舀,也舀得动,但每一勺下去,除了机械的重复,没有任何新鲜感。


    “这就是所谓的硬骨头?”


    陈拙有些失望地嘟囔了一句。


    他原本以为80年代的竞赛题能给他带来点惊喜,结果也就是考验谁的算力更强、谁更耐烦而已。


    他重新握紧笔,准备一鼓作气把那个极值算出来。


    暴力破解嘛,讲究的就是一个力大砖飞。


    就在他准备落笔的时候,他的目光无意间扫过了手边的一本旧书。


    那是他刚才为了找题,随手从书架角落里抽出来的一本发黄的线装书。


    书名模糊不清,封皮都快掉了,像是某位老教师当年的备课笔记,或者是当年集训队的内部交流资料。


    书是摊开的。


    好巧不巧,那一页的角落里,画着一个和陈拙现在做的题目一模一样的图。


    正四面体。


    两个动点。


    陈拙的动作停滞了一下。


    他好奇地凑过去,想看看当年的前辈是怎么建坐标系的。


    是不是有什么更简便的建系方法?


    比如利用对称性?


    然而。


    当他的目光落在那个图形旁边的时候,他愣住了。


    那旁边没有坐标系。


    没有x,没有y,没有z。


    甚至没有算式。


    那里的空白处,用蓝色的钢笔水,潦草地画了一个很奇怪的图。


    那是一个正方形。


    正方形里面套着那个正四面体的投影。


    旁边写了一行字,字迹飘逸,透着一股子漫不经心的随意:


    【把它补成一个正方体。p和q,不过就是正方体两个面上的蚂蚁。投影一下,一眼可见。】


    下面还有一句更简短的批注:


    【别算,用眼看。】


    陈拙盯着那行字。


    “别算,用眼看?”


    他下意识地推了推眼镜,眉头锁得更紧了。


    这算什么解法?


    补成正方体?


    他在脑子里试着构建了一下。


    正四面体确实可以内接于一个正方体,这是个经典的几何模型。


    但是……


    就算补成了正方体,p和q还是动点啊。


    还是要算距离,算角度啊。


    怎么可能一眼可见?


    陈拙并不觉得这行字是错的。


    能写在集训队讲义上,肯定有它的道理。


    但他觉得这种方法很险。


    数学是应该是严谨的,是逻辑的堆砌,是方程的求解。


    一眼可见这种词,属于文学,不属于数学。


    他摇了摇头,把那本旧书推到一边。


    “太依赖直觉了。”


    陈拙在心里给出了评价。


    这种补形法或者是投影法,往往是针对某一道特定题目的巧合。


    如果题目稍微变一下呢?如果不是正四面体,是歪四面体呢?


    然后低下头,继续在这个被坐标轴锁死的牢笼里,为了那个二元函数的极值而奋斗。


    笔尖再次在纸上划动。


    沙沙沙。


    沙沙沙。


    计算还在继续。


    根号被打开,平方被合并,参数被消去。


    终于。


    又过了十五分钟。


    陈拙长出了一口气。


    算出来了。


    答案是一个区间。


    [0,√2/2]。


    他把钢笔扔在桌上,看着那张写满了密密麻麻算式的a3纸。


    这就是战果。


    这就是力量。


    虽然过程繁琐,虽然手腕酸痛,但这就是绝对正确的答案。


    陈拙靠在椅背上,看着天花板,试图享受一下解题后的快感。


    但是。


    那种快感并没有如期而至。


    反倒是刚才那本旧书上的那行潦草的字,像是一只苍蝇一样,在他脑子里嗡嗡乱飞。


    【别算,用眼看。】


    陈拙烦躁地坐直身子。


    他又把那本旧书扯了过来。


    他盯着那个简陋的草图。


    正方体。


    投影。


    “怎么看?”


    陈拙在心里反问那个看不见的对手。


    “光凭看,你能看出根号二?你能看出正切值?”


    在他的视野里,图形是由线条组成的,线条是由点组成的,点是由坐标定义的。


    离开了坐标,图形就是一团模糊的影子,不可捉摸,不可信任。


    他合上书。


    把那张写满算式的纸折好,夹进书里。


    就像是用自己的正确,封印了那个话语。


    他再次确认了自己的判断。


    然后收拾书包,起身离开。


    档案室的铁门哐当一声关上。


    走廊里空荡荡的,只有陈拙的脚步声在回荡。


    他走得很稳。


    但他自己没发现,他的脚步比平时稍微沉重了一点点。


    就像是鞋子里进了一粒极其微小的沙子。


    不硌脚。


    但是有一种异样的感觉。
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